Question

已知正方形ABCD的边长为12，E，F分别是AD，CD上的点，且EF=10，∠EBF=45°，则AE的长为______．

Answer 1

延长DA到M点，使MA=FC，连接BM，
∵正方形ABCD的边长为12，
∴AB=BC=CD=DA=12，∠D=∠C=∠CBA=∠DAB=90°，
∴∠BAM=90°，
∵在△ABM和△CBF中，

AM=CF ∠BAM=∠C AB=CB

，
∴△ABM≌△CBF（SAS），
∴∠CBF=∠ABM，BF=BM，
∵∠EBF=45°，
∴∠ABE+∠CBF=45°，
∴∠ABE+∠ABM=45°，即∠EBM=45°，
在△FBE和△MBE中，

BE=BE ∠EBF=∠EBM BF=BM

，
∴△FBE≌△MBE（SAS），
∴EM=EF，
∵EF=10，
∴DF²+DE²=EF²，
AE+AM=10，
设AE=x，FC=y，
则DF=12-y，DE=12-x，
∴

x+y=10 (12-x)2+(12-y)2=102

，
∴整理方程组得

y=10-x① (12-x)2+(12-y)2=100

②，
∴把①代入②得：x²-10x+24=0，
∴（x-4）（x-6）=0，
∴x₁=6，x₂=4，
∴AE=6或AE=4．
故答案为6或者4．