题目内容
【题目】已知正方形ABCD中，点E，F分别为BC，CD上的点，连接AE，BF相交于点H，且AE⊥BF.
(1)如图1，连接AC交BF于点G，求证：∠AGF＝∠AEB＋45°；
(2)如图2，延长BF到点M，连接MC，若∠BMC＝45°，求证：AH＋BH＝BM；
(3)如图3，在(2)的条件下，若点H为BM的三等分点，连接BD，DM，若HE＝1，求△BDM的面积．
【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）6.
【解析】
（1）根据正方形的性质得到∠ACB=∠ACD=45°，根据余角 的性质得到∠AEB=∠BFC，于是得到结论；
（2）过C作CK⊥BM于K，得到∠BKC=90°，推出四边形ABCD是正方形，根据正方形的性质得到AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，得到∠ABH=∠BCK，在△ABH根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）过E作EN⊥CK于N，得到四边形HENK是矩形，根据矩形的性质得到HK=EN=BH，∠BHE=∠NEC，根据全等三角形的性质得到HE=CN=NK=1，求得CK=BH=2，得到BM=6，连接CH，根据全等三角形的性质得到BH=DM=2，∠BHC=∠DMC=135°．求得∠DMB=90°，于是得到结论．
(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∵AE⊥BF，
∴∠AEB＋∠FBC=90°，
∵∠FBC＋∠BFC=90°,
∴∠AEB=∠BFC，
∵∠AGF=∠BFC＋∠ACF，
∴∠AGF=∠AEB＋45°.
(2)过C作CK⊥BM于K，
∴∠BKC=∠AHB=90°，
∵∠BMC=45°，
∴CK=MK，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABH=∠BCK，
∴△ABH≌△BCK(AAS)，
∴BH=CK=MK，AH=BK，∴BM=BK＋MK=AH＋BH.
(3)由(2)得，BH=CK=MK，∵H为BM的三等分点，
∴BH=HK=KM，
过E作EN⊥CK于N，∴四边形HENK是矩形，
∴HK=EN=BH，∠BHE=∠ENC，∴△BHE≌△ENC(ASA)，
∴HE=CN=NK=1，∴CK=BH=2，
∴BM=6，
连接CH，
∵HK=MK，CK⊥MH，∠BMC=45°，∴CH=CM，∠MCH=90°，
∴∠BCH=∠DCM，∴△BHC≌△DMC(SAS)，
∴BH=DM=2，∠BHC=∠DMC=135°，
∴∠DMB=90°，
∴△BDM的面积为
DM·BM=6.
