题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴交于
和
，与
轴交于点
．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）绕点
旋转的直线
：
与轴相交于点
，与抛物线相交于点
，且满足
时，求直线的解析式；
（3）点
为抛物线上的一点，点
为抛物线对称轴上的一点，是否存在以点
，，，为顶点的平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为：
；（2）直线
的解析式为
或
；（3）存在，符合题意的点
有3个：
，
，
【解析】
（1把
和
代入
中得到一个关于a,b的二元一次方程组，把这个方程组解出来即可；
（2）分两种情况讨论进行计算即可；
（3）分三种情况讨论，利用平行四边形的性质列方程求解即可.
解：（1）∵抛物线经过点，点，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为：
（2）①如图1，当点
、
在点
的异侧时，过点作
轴于点
∴
∵
∴
，
∴
∵
∴
∴
∴
∴点与点的横坐标为
∴点的纵坐标为
∴点的坐标为
∵直线：
过点和点
∴
解得：
∴直线的解析式为
②如图2，当点、在点的同侧时，过点作轴于点
∴
∵
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
∴点与点的横坐标为
∴点的纵坐标为
∴点的坐标为
∵直线：过点和点
∴
解得：
∴直线的解析式为
综上所述：直线的解析式为或．
（3）存在，符合题意的点有3个它们分别是：，，.
设P的坐标为P(x, 
),点Q的坐标为（2，y）
当BP∥CQ时，则
,解得x=1，
∴=
∴.
当BP∥QC时，则
,解得x=5，
∴=
∴，
③当BC∥PQ时，则
，解得x=-1，
∴=
∴.
综上所述，点有3个它们分别是：，，.
【点晴】
本题考查了二次函数的综合应用，合理利用数形结合和分类讨论是解题的关键.
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