题目内容

如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B（点B在点A右侧），与y轴交于点C（0，2）．
（1）请说明a、b、c的乘积是正数还是负数；
（2）若∠OCA=∠CBO，求这个二次函数的解析式．
（1）由于抛物线过C（0，2），因此c=2＞0．
根据图形有：
c
a
＞0，-
b
2a
＞0，
因此a＞0，b＜0．
∴abc＜0，即a、b、c的乘积是负数．

（2）∵∠OCA=∠CBO，∠COA=∠BOC=90°，
∴△COA∽△BOC，
∴
OA
OC
=
OC
OB
，
即OB=
OC2
OA
=
2×2
1
=4，
即B点坐标为（4，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-4）．由于抛物线过C点，
因此a（0-1）×（0-4）=2，a=
1
2
．
因此抛物线的解析式为y=
1
2
（x-1）（x-4）．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax-2经过点B．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图①，在平面直角坐标系中，Rt△AOB≌Rt△CDA，且A（-1，0）、B（0，2），抛物线y=ax2+ax-2经过点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在两点P、Q，使四边形ABPQ是正方形？若存在，求点P、Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图②，E为BC延长线上一动点，过A、B、E三点作⊙O′，连接AE，在⊙O′上另有一点F，且AF=AE，AF交BC于点G，连接BF．下列结论：①BE+BF的值不变；②
BF
AF
=
BG
AG
，其中有且只有一个成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论．
如图，△OAB是边长为4+2
3
的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴的正半轴上．将△OAB折叠，使点A与OB边上的点P重合，折痕与OA、AB的交点分别是E、F．如果PE∥x轴，
（1）求点P、E的坐标；
（2）如果抛物线y=-
1
2
x2+bx+c经过点P、E，求抛物线的解析式．
如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积．
如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的形状与抛物线y=-
1
2
x2+1的形状相同，且经过A（2，0）、B（0，-6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，以O为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
（1）求点C的坐标和过O、C、A三点的抛物线的解析式；
（2）P是此抛物线的对称轴上一动点，当以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出点P的坐标；
（3）M（x，y）是此抛物线上一个动点，当△MOB的面积等于△OAB面积时，求M的坐标．
如图，抛物线y=-x2+2nx+n2-9（n为常数）经过坐标原点和x轴上另一点C，顶点在第一象限．
（1）确定抛物线所对应的函数关系式，并写出顶点坐标；
（2）在四边形OABC内有一矩形MNPQ，点M，N分别在OA，BC上，A点坐标为（2，8）B点坐标为（4，8），点Q，P在x轴上．当MN为多少时，矩形MNPQ的面积最大，最大面积是多少？
如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（-2，3），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连结OA，抛物线y=-x2-2x+c经过点A，与x轴正半轴交于点C

（1）求c的值；
（2）将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）．
（3）将△OAB沿直线OA翻折，记点B的对应点B′，向左平移抛物线，使B′恰好落在平移后抛物线的对称轴上，求平移后的抛物线解析式．
（4）连接BC，设点E在x轴上，点F在抛物线上，如果B、C、E、F构成平行四边形，请写出点E的坐标（不必书写计算过程）．

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