Question

已知抛物线y=x²+bx+c过点（-6,-2），与y轴交于点C，且对称轴与x轴交于点B（-2,0），顶点为A.
（1）求该抛物线的解析式和A点坐标；
（2）若点D是该抛物线上的一个动点，且使△DBC是以B为直角顶点BC为腰的等腰直角三角形，求点D坐标；
（3）若点M是第二象限内该抛物线上的一个动点，经过点M的直线MN与y轴交于点N，是否存在以O、M、N为顶点的三角形与△OMB全等？若存在，请求出直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)A点的坐标为（﹣2，6）；
（2）D点的坐标为：（2，﹣2）；
（3）存在．直线MN的解析式为y=6或y=﹣x+2．

试题分析：（1）首先依据顶点坐标先求出b的值，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）过B点作CB的垂线交抛物线与D，然后过D点作x轴的垂线，垂足为E，通过三角形全等即可求得点D的坐标．
（3）由于三角形的各边，只有OB=2是确定长度的，因此可以以OB为基准进行分类讨论：
①OB=OM．因为第二象限内点P到原点的距离均大于4，因此OB≠OM，此种情形排除；
②OB=ON．分析可知，只有如答图2所示的情形成立；
③OB=MN．分析可知，只有如答图3所示的情形成立．
试题解析：（1）∵对称轴与x轴交于点B（﹣2，0），
∴A的横坐标为：x=﹣2，
∴﹣=﹣2，
解得；b=﹣2，
∴抛物线为y=﹣x²﹣2x+c，
∵抛物线y=﹣x²+bx+c过点（﹣6，﹣2），
∴代入得﹣2=﹣×（﹣6）²﹣2×（﹣6）+c，解得c=4，
∴该抛物线的解析式为：y=﹣x²﹣2x+4，
∴y=﹣x²﹣2x+4=﹣（x²+4x+4）+6）=﹣（x+2）²+6
∴A点的坐标为（﹣2，6）；
（2）过B点作CB的垂线交抛物线与D，然后过D点作x轴的垂线，垂足为E，
∵∠CBD=90°，
∴∠CBO+∠EBD=90°，
∵∠BCO+∠CBO+90°，
∴∠EBD=∠BCO，∠CBO=∠BDE，
∴在△CBO与△BDE中

∴△CBO≌△BDE（ASA）
∴DE=OB=2，BE=OC=4
∴D点的坐标为（2，﹣2）或（﹣6.2），
把（2，﹣2）或（﹣6.2）分别代入y=﹣x²﹣2x+4，（﹣2，2）合适，（﹣6，2）不合适，
∴D点的坐标为：（2，﹣2）

图1
（3）存在．
若以O、M、N为顶点的三角形与△OBM全等，可能有以下情形：
（I）OB=OM．
由图象可知，OM最小值为4，即OM≠OB，故此种情形不存在．
（II）OB=ON．
若点M在y轴正半轴上，如答图2所示：

图2
此时△OBM≌△OMN，
∴∠OMB=∠OMN，即点P在第二象限的角平分线上，ON=OB=2，M点坐标为：（4，4），
∴直线PE的解析式为：y=﹣x+2；
若点E在y轴负半轴上，易知此种情形下，两个三角形不可能全等，故不存在．
（III）OB=MN．
∵OB=2，
∴第二象限内对称轴左侧的点到y轴的距离均大于2，
则点M只能位于对称轴右侧或与顶点A重合．
若点M位于第二象限内抛物线对称轴的右侧，易知△OMN为钝角三角形，而△OMB为锐角三角形，则不可能全等；
若点M与点A重合，如答图3所示，此时△OBM≌△OMN，四边形MNOB为矩形，

图3
∴直线MN的解析式为：y=6．
综上所述，存在以O、M、N为顶点的三角形与△OMB全等，直线MN的解析式为y=6，y=﹣x+2．