题目内容

已知抛物线y=x2+bx+c过点(-6,-2),与y轴交于点C,且对称轴与x轴交于点B(-2,0),顶点为A.
(1)求该抛物线的解析式和A点坐标;
(2)若点D是该抛物线上的一个动点,且使△DBC是以B为直角顶点BC为腰的等腰直角三角形,求点D坐标;
(3)若点M是第二象限内该抛物线上的一个动点,经过点M的直线MN与y轴交于点N,是否存在以O、M、N为顶点的三角形与△OMB全等?若存在,请求出直线MN的解析式;若不存在,请说明理由.
(1)A点的坐标为(﹣2,6);
(2)D点的坐标为:(2,﹣2);
(3)存在.直线MN的解析式为y=6或y=﹣x+2.

试题分析:(1)首先依据顶点坐标先求出b的值,然后利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)过B点作CB的垂线交抛物线与D,然后过D点作x轴的垂线,垂足为E,通过三角形全等即可求得点D的坐标.
(3)由于三角形的各边,只有OB=2是确定长度的,因此可以以OB为基准进行分类讨论:
①OB=OM.因为第二象限内点P到原点的距离均大于4,因此OB≠OM,此种情形排除;
②OB=ON.分析可知,只有如答图2所示的情形成立;
③OB=MN.分析可知,只有如答图3所示的情形成立.
试题解析:(1)∵对称轴与x轴交于点B(﹣2,0),
∴A的横坐标为:x=﹣2,
∴﹣=﹣2,
解得;b=﹣2,
∴抛物线为y=﹣x2﹣2x+c,
∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点(﹣6,﹣2),
∴代入得﹣2=﹣×(﹣6)2﹣2×(﹣6)+c,解得c=4,
∴该抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+4,
∴y=﹣x2﹣2x+4=﹣(x2+4x+4)+6)=﹣(x+2)2+6
∴A点的坐标为(﹣2,6);
(2)过B点作CB的垂线交抛物线与D,然后过D点作x轴的垂线,垂足为E,
∵∠CBD=90°,
∴∠CBO+∠EBD=90°,
∵∠BCO+∠CBO+90°,
∴∠EBD=∠BCO,∠CBO=∠BDE,
∴在△CBO与△BDE中

∴△CBO≌△BDE(ASA)
∴DE=OB=2,BE=OC=4
∴D点的坐标为(2,﹣2)或(﹣6.2),
把(2,﹣2)或(﹣6.2)分别代入y=﹣x2﹣2x+4,(﹣2,2)合适,(﹣6,2)不合适,
∴D点的坐标为:(2,﹣2)

图1
(3)存在.
若以O、M、N为顶点的三角形与△OBM全等,可能有以下情形:
(I)OB=OM.
由图象可知,OM最小值为4,即OM≠OB,故此种情形不存在.
(II)OB=ON.
若点M在y轴正半轴上,如答图2所示:

图2
此时△OBM≌△OMN,
∴∠OMB=∠OMN,即点P在第二象限的角平分线上,ON=OB=2,M点坐标为:(4,4),
∴直线PE的解析式为:y=﹣x+2;
若点E在y轴负半轴上,易知此种情形下,两个三角形不可能全等,故不存在.
(III)OB=MN.
∵OB=2,
∴第二象限内对称轴左侧的点到y轴的距离均大于2,
则点M只能位于对称轴右侧或与顶点A重合.
若点M位于第二象限内抛物线对称轴的右侧,易知△OMN为钝角三角形,而△OMB为锐角三角形,则不可能全等;
若点M与点A重合,如答图3所示,此时△OBM≌△OMN,四边形MNOB为矩形,

图3
∴直线MN的解析式为:y=6.
综上所述,存在以O、M、N为顶点的三角形与△OMB全等,直线MN的解析式为y=6,y=﹣x+2.
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