Question

如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线y＝ax²＋bx－3（a≠0）交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为5．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为1:2．若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）①；；②0或3.

试题分析：（1）在y=x+1中，当y=0时，x=-1；当y=5时，x=4，依此可得A与B的坐标；将A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）①设直线AB与y轴交于点E，由CP与y轴平行，得到∠ACP=∠AEO，求出AE与OA的长，得出sin∠AEO的值，即为sin∠ACP的值，由P的横坐标为m，分别代入直线与抛物线解析式得到两个纵坐标之差为PC的长，由PD=PCsin∠ACP表示出PD，利用二次函数的性质求出PD的最大值即可；
②存在，过D作DF⊥CP，过B作BG⊥PQ，交PC延长线与点Q，表示出DF与BG，进而表示出三角形DCP面积与三角形BCP面积，根据面积之比为1：2列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值即可．
试题解析：（1）在中，当y=0时，x=-1；当y=5时，x=4．
∴A(-1，0)、B(4，5) .
将A(-1，0)、B(4，5)分别代入y＝ax²＋bx－3中，得
，解得．
∴所求解析式为.
（2）①设直线AB交y轴于点E，求得E（0，1），∴OA=OE，∠AEO=45°,∠ACP=∠AEO="45°,"
∴． 
设，则，
∴．
∴．
∴PD的最大值为．
②当m=0或m=3时，PC把△PDB分成两个三角形的面积比为1:2．
如图，过D作DF⊥CP，过B作BG⊥PQ，交PC延长线与点Q，
∵sin∠ACP=，∴cos∠ACP=.
在Rt△PDF中，DF=DP•sin∠DPC=DP•cos∠ACP=.
又∵BG=4-m，
∴.
当时，解得：m=0；
当 2时，解得：m=3．
故当m=0或m=3时，PC把△PDB分成两个三角形的面积比为1：2．