Question

已知P（﹣3，m）和Q（1，m）是抛物线y=2x²+bx+1上的两点．
（1）求b的值;
（2）判断关于x的一元二次方程2x²+bx+1=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由;
（3）将抛物线y=2x²+bx+1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值．

Answer 1

（1）b=4 （2）x===﹣1± （3）k的最小值为2

（1）∵点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，
∴P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．
∴抛物线对称轴，
∴b=4．
（2）由（1）可知，关于x的一元二次方程为2x²+4x+1=0．
∵△=b²﹣4ac=16﹣8=8＞0，
∴方程有实根，
∴x===﹣1±；
（3）由题意将抛物线y=2x²+bx+1的图象向上平移k（k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，
∴设为y=2x²+4x+1+k，∴方程2x²+4x+1+k=0没根，
∴△＜0，
∴16﹣8（1+k）＜0，
∴k＞1，
∵k是正整数，
∴k的最小值为2．