题目内容
【题目】如图，在Rt△ABO中，∠BAO＝90°，AO＝AB，BO＝8
，点A的坐标（﹣8，0），点C在线段AO上以每秒2个单位长度的速度由A向O运动，运动时间为t秒，连接BC，过点A作AD⊥BC，垂足为点E，分别交BO于点F，交y轴于点 D．
（1）用t表示点D的坐标 ；
（2）如图1，连接CF，当t＝2时，求证：∠FCO＝∠BCA；
（3）如图2，当BC平分∠ABO时，求t的值．
【答案】（1）（0，2t）；（2）见解析；（3）t=4（
﹣1）
【解析】
（1）由已知条件可证明△ABC≌△OAD，根据全等三角形的性质即可求出点D的坐标；
（2）由（1）的结论可证明△FOD≌△FOC，从而∠FCO＝∠FDO，再根据（1）中△ABC≌△OAD，可得∠ACB＝∠ADO，进而∠FCO＝∠ACB得证；
（3）在AB上取一点K，使得AK＝AC，连接CK．设AK＝AC＝m，则CK＝m，根据角平分线的性质和三角形外角和定理可得KB＝KC＝m，从而求得m的值，进而t的值也可求出.
解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠AEB＝90°＝∠BAC＝∠AOD，
∴∠ABC+∠BAE＝90°，∠BAE+∠OAD＝90°，
∴∠ABC＝∠OAD，
∵AB＝OA，
∴△ABC≌△OAD（ASA），
∴OD＝AC＝2t，
∴D（0，2t）．
故答案为（0，2t）；
（2）如图1中，
∵AB＝AO，∠BAO＝90°，OB＝
，
∴AB＝AO＝8，
∵t＝2，
∴AC＝OD＝4，
∴OC＝OD＝4，
∵OF＝OF，∠FOD＝∠FOC，
∴△FOD≌△FOC（SAS），
∴∠FCO＝∠FDO，
∵△ABC≌△OAD，
∴∠ACB＝∠ADO，
∴∠FCO＝∠ACB；
（3）如图2中，在AB上取一点K，使得AK＝AC，连接CK．设AK＝AC＝m，则CK＝m．
∵CB平分∠ABO，
∴∠ABC＝22.5°，
∵∠AKC＝45°＝∠ABC+∠KCB，
∴∠KBC＝∠KCB＝22.5°，
∴KB＝KC＝m，
∴m+m＝8，
∴m＝8（
），
∴t＝
＝4（﹣1）．
