Question

【题目】已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。求证：AD垂直平分EF。

Answer 1

【答案】证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC，

∴∠AED=∠AFD，

又∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠1=∠2，DE=DF，

∴△AED≌△AFD（AAS），

∴AE=AF，

∴点A在EF的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）,
∵DE=DF，

∴点D在EF的垂直平分线上，

∴AD垂直平分EF.

【解析】由角平分线定义和角平分线的性质得出∠1=∠2，DE=DF，再由垂直的定义得出∠AED=∠AFD，再根据AAS得出△AED≌△AFD，由全等三角形的性质得出AE=AF，再根据垂直平分线的判定得出点A、E在EF的垂直平分线上；从而得出AD垂直平分EF.
【考点精析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和角的平分线的相关知识点，需要掌握和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线才能正确解答此题．