Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE。
（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC=30°，DE="1" cm，求BD的长。

Answer 1

解：（1）(6分)证明：连接AO． ∵AO=DO， ∴∠OAD=∠ODA．
∵DA平分∠BDE，∴∠ADE=∠ODA．∴∠ADE=∠OAD．
∵AE⊥CD，∴∠ADE+∠DAE=90°．
∴∠OAD+∠DAE=90°．即OA⊥AE．（由AO∥ED 证得OA⊥AE也可．）
∴AE是⊙O的切线．
（2）(8分)∵BD是⊙O的直径，∴∠C=90°
∵∠DBC=30°∴∠BDC=60°∴∠ADE=∠ODA=60°
∴在Rt△AED中，∠EAD=30  ∵ED=1   ∴AD=2ED=2 
∵在Rt△ABD中, ∠ABD=30,   AD=2
∴BD=2AD=4（cm）  ∴BD的长为4cm。

（1）连接OA，推出∠OAD=∠ODA=∠EDA，推出OA∥CD，推出OA⊥AE，即可得出答案；
（2）求出∠BDC=∠EDA=∠ADB=60°，求出∠EAD=∠ABD=30°，求出AD，即可求出BD。