Question

如图：已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连结AD并延长，与BC相交于点E。

（1）若BC＝，CD＝1，求⊙O的半径；              
（2）取BE的中点F，连结DF，求证：DF是⊙O的切线

Answer 1

（1）解：∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线∴AB⊥BC，               
设⊙O的半径为，在Rt△OBC中，∵
∴，解得＝1，∴⊙O的半径为1                  
（2）连结OF，∵OA＝OB，BF＝EF，∴OF∥AE，∠A＝∠2
又∵∠BOD＝2∠A，∴∠1＝∠2，
又∵OB＝OD、OF＝OF∴△OBF≌△ODF，
∴∠ODF＝∠OBF＝90⁰，即OD⊥DF，∴FD是⊙O的切线。

（1）先设⊙O的半径为r，由于AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，根据切线性质可知AB⊥BC，在Rt△OBC中，利用勾股定理可得，解得r=1；
（2）连接OF，由于OA=OB，BF=EF，可知OF是△BAE的中位线，那么OF∥AE，于是∠A=∠2，根据三角形外角性质可得∠BOD=2∠A，易证∠1=∠2，而OD=OB，OF=OF，利用SAS可证△OBF≌△ODF，那么∠ODF=∠OBF=90°，于是OD⊥DF，从而可证FD是⊙O的切线．