题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(2,0)两点,与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的解析式;
(2)直线y=﹣x+n与该抛物线在第四象限内交于点D,与线段BC交于点E,与x轴交于点F,且BE=4EC.
①求n的值;
②连接AC,CD,线段AC与线段DF交于点G,△AGF与△CGD是否全等?请说明理由;
(3)直线y=m(m>0)与该抛物线的交点为M,N(点M在点N的左侧),点 M关于y轴的对称点为点M',点H的坐标为(1,0).若四边形OM'NH的面积为 .求点H到OM'的距离d的值.

【答案】
(1)

解:∵抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(2,0)两点,

,解得

∴该抛物线的解析式y= x2 x﹣3;


(2)

解:①如图,过点E作EE'⊥x轴于E',则EE'∥OC,

=

∵BE=4EC,

∴BE'=4OE',

设点E的坐标为(x,y),则OE'=x,BE'=4x,

∵B(2,0),

∴OB=2,即x+4x=2,

∴x=

∵抛物线y= x2 x﹣3与y轴交于点C,

∴C(0,﹣3),

设直线BC的解析式为y=kx+b',

∵B(2,0),C(0,﹣3),

,解得

∴直线BC的解析式为y= x﹣3,

当x= 时,y=﹣

∴E( ,﹣ ),

把E的坐标代入直线y=﹣x+n,可得﹣ +n=﹣

解得n=﹣2;

②△AGF与△CGD全等.理由如下:

∵直线EF的解析式为y=﹣x﹣2,

∴当y=0时,x=﹣2,

∴F(﹣2,0),OF=2,

∵A(﹣1,0),

∴OA=1,

∴AF=2﹣1=1,

解得

∵点D在第四象限,

∴点D的坐标为(1,﹣3),

∵点C的坐标为(0,﹣3),

∴CD∥x轴,CD=1,

∴∠AFG=∠CDG,∠FAG=∠DCG,

∴△AGF≌△CGD;


(3)

解:∵抛物线的对称轴为x=﹣ = ,直线y=m(m>0)与该抛物线的交点为M,N,

∴点M、N关于直线x= 对称,

设N(t,m),则M(1﹣t,m),

∵点 M关于y轴的对称点为点M',

∴M'(t﹣1,m),

∴点M'在直线y=m上,

∴M'N∥x轴,

∴M'N=t﹣(t﹣1)=1,

∵H(1,0),

∴OH=1=M'N,

∴四边形OM'NH是平行四边形,

设直线y=m与y轴交于点P,

∵四边形OM'NH的面积为

∴OH×OP=1×m= ,即m=

∴OP=

x2 x﹣3= 时,解得x1=﹣ ,x2=

∴点M的坐标为(﹣ ),

∴M'( ),即PM'=

∴Rt△OPM'中,OM'= =

∵四边形OM'NH的面积为

∴OM'×d=

∴d=


【解析】(1)根据抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(2,0)两点,可得抛物线的解析式;(2)①过点E作EE'⊥x轴于E',则EE'∥OC,根据平行线分线段成比例定理,可得BE'=4OE',设点E的坐标为(x,y),则OE'=x,BE'=4x,根据OB=2,可得x= ,再根据直线BC的解析式为y= x﹣3,即可得到E( ,﹣ ),把E的坐标代入直线y=﹣x+n,可得n的值;②根据F(﹣2,0),A(﹣1,0),可得AF=1,再根据点D的坐标为(1,﹣3),点C的坐标为(0,﹣3),可得CD∥x轴,CD=1,再根据∠AFG=∠CDG,∠FAG=∠DCG,即可判定△AGF≌△CGD;(3)根据轴对称的性质得出OH=1=M'N,进而判定四边形OM'NH是平行四边形,再根据四边形OM'NH的面积为 ,求得OP= ,再根据点M的坐标为(﹣ ),得到PM'= ,Rt△OPM'中,运用勾股定理可得OM'= ,最后根据OM'×d= ,即可得到d=
【考点精析】根据题目的已知条件,利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.

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