Question

【题目】已知函数f（x）=Acos2（x+φ）+1（A＞0，＞0，0＜φ＜ ）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）的值为（ ）
A.2468
B.3501
C.4032
D.5739

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1=A +1 = cos（2ωx+2φ）+1+ （A＞0，ω＞0，0＜φ＜ ）的最大值为3，
∴ +1+ =3，可求：A=2．
∵函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即： =4，
∴解得：ω= ．
又∵f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），可得：cos（2φ）+1+1=2，
∴cos2φ=0，2φ= ，解得：φ= ．
∴函数的解析式为：f（x）=cos（ x+ ）+2=﹣sin x+2，
∴f（1）+f（2）+…+f（2016）=﹣（sin +sin +sin +…+sin ）+2×2016
=504×0+4032=4032．
故选：C．
由条件利用二倍角的余弦公式可得f（x）= cos（2ωx+2φ）+1+ ，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性求得所求式子的值．