题目内容
【题目】已知函数f（x）=axln（x+1）+x+1（x＞﹣1，a∈R）．
（1）若 
，求函数f（x）的单调区间；
（2）当x≥0时，不等式f（x）≤ex恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】
（1）解：a= 
时，f（x）= xln（x+1）+x+1，
f′（x）= [ln（x+1）+1﹣ 
]+1，
∵f′（x）在（﹣1，+∞）递增，且f′（﹣1+ ）=0，
故x∈（﹣1，﹣1+ ）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
x∈（﹣1+ ，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递减，
故f（x）在（﹣1，﹣1+ ）递减，在（﹣1+ ，+∞）
（2）解：记g（x）=f（x）﹣ex（x≥0），g（0）=0，
则g′（x）=a[ln（x+1）+1﹣ ]+1﹣ex，
记h（x）=a[ln（x+1）+1﹣ ]+1﹣ex，
h′（x）=a[ 
+ ]﹣ex，h′（0）=2a﹣1，
①a≤ 
时，∵ + ∈（0，2]，ex≥1，
∴h′（x）≤0，h（x）在（0，+∞）递减，
则h（x）≤h（0）=0，即g′（x）≤0，∴g（x）在（0，+∞）递减，
∴g（x）≤g（0）=0恒成立，即f（x）≤ex恒成立，满足题意；
②a≥ 时，h′（x）在（0，+∞）递减，
又h′（0）=2a﹣1＞0，x→+∞时，h′（x）→﹣∞，
则必存在x0∈（0，+∞），使得h′（x0）=0，
则x∈（0，x0）时，h′（x）＞0，h（x）在（0，x0）递增，
此时h（x）＞h（0）=0，
x∈（0，x0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，x0）递增，
∴g（x）＞g（0）=0，即f（x）＞ex，不合题意，
综上，a≤
【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）记g（x）=f（x）﹣ex（x≥0），g（0）=0，求出函数的导数，记h（x）=a[ln（x+1）+1﹣ ]+1﹣ex ， 通过讨论a的范围，求出函数的单调性，从而确定a的具体范围即可．
