题目内容

【题目】如图,设椭圆C1 + =1(a>b>0),长轴的右端点与抛物线C2:y2=8x的焦点F重合,且椭圆C1的离心率是
(1)求椭圆C1的标准方程;
(2)过F作直线l交抛物线C2于A,B两点,过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C,求△ABC面积的最小值,以及取到最小值时直线l的方程.

【答案】
(1)解:∵椭圆C1 + =1(a>b>0),长轴的右端点与抛物线C2:y2=8x的焦点F重合,∴a=2,

又∵椭圆C1的离心率是 .∴c= b=1,∴椭圆C1的标准方程:


(2)解:过点F(2,0)的直线l的方程设为:x=my+2,设A(x1,y1),B(x2,y2

联立 得y2﹣8my﹣16=0.

y1+y2=8m,y1y2=﹣16,∴|AB|= =8(1+m2

过F且与直线l垂直的直线设为:y=﹣m(x﹣2)

联立 得(1+4m2)x2﹣16m2x+16m2﹣4=0,

xC+2= xC=

∴|CF|=

△ABC面积s= |AB||CF|=

,则s=f(t)= ,f′(t)=

令f′(t)=0,则t2= ,即1+m2= 时,△ABC面积最小.

即当m=± 时,△ABC面积的最小值为9,此时直线l的方程为:x=± y+2


【解析】(1)由已知可得a,又由椭圆C1的离心率得c,b=1即可.(2)过点F(2,0)的直线l的方程设为:x=my+2,设A(x1 , y1),B(x2 , y2)联立 得y2﹣8my﹣16=0.|AB|= ,同理得|CF|= .△ABC面积s= |AB||CF|= .令 ,则s=f(t)= ,利用导数求最值即可.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网