题目内容
如图所示，在平面直角坐标系xoy中，Rt△AOB的直角边OB，OA分别在x轴上和y轴上，其中OA=2
，OB=4，现将Rt△AOB绕着直角顶点O按逆时针方向旋转90°得到△COD，已知一抛物线经过C、D、B三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）连接DB，P是线段BC上一动点（P不与B、C重合），过点P作PE∥BD交CD于E，则当△DEP面积最大时，求PE的解析式；
（3）作点D关于此抛物线对称轴的对称点F，连接CF交对称轴于点M，抛物线上一动点R，x轴上一动点Q，则在抛物线上是否存在点R，x轴上是否存在点Q，使得以C、M、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．
，OB=4，现将Rt△AOB绕着直角顶点O按逆时针方向旋转90°得到△COD，已知一抛物线经过C、D、B三点．（1）求这条抛物线的解析式；
（2）连接DB，P是线段BC上一动点（P不与B、C重合），过点P作PE∥BD交CD于E，则当△DEP面积最大时，求PE的解析式；
（3）作点D关于此抛物线对称轴的对称点F，连接CF交对称轴于点M，抛物线上一动点R，x轴上一动点Q，则在抛物线上是否存在点R，x轴上是否存在点Q，使得以C、M、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（1）∵△COD≌△AOB
∴OC=OA，OD=OB
∴OC=2，OD=4
∴C（-2，0）D（0，4）B（4，0）
∴设此抛物线的解析式y=ax2+bx+4（a≠0）
将C（-2，O）B（4，0）代入
∴
∴抛物线的解析式为：y=-
x2+x+4（4分）
（2）过E作EH⊥x轴，
∵S△DEP=S△DCP-S△ECP
=
CP•OD-
CP•EH
=
CP（OD-EH）
设点P（m，0）
∵P在BC之间运动
∴CP=m+2
∵PE∥BD
∴△CEP∽△CDB
∴
=
∴
=
∴EH=
∴S△DEP=
(m+2)(4-
)
=-
(m-1)2+3（6分）
∴当m=1时，S△DEP有最大值为3，此时P（1，0）（7分）
又∵D（0，4）
又设BD的解析式y=kx+4（k≠0）
将B（4，0）代入0=4k+4
k=-1
∴BD：y=-x+4
∵PE∥BD
∴设PE：y=-x+b，
将P（1，0）代入
即0=-1+b，
解得b=1
∴PE的解析式为：y=-x+1；（8分）
（3）存在
∵D（0，4）F（2，4）
CF：y=x+2
∴M（1，3）
若以CM为边
在y=-
x2+x+4中令y=3
解得：x1=1+
，x2=1-
∴Q1（-2+
，0）Q2（-2-
，0）（10分）
令y=-3，-
x2+x+4=-3
解得：x1=1+
，x2=1-
Q3（4+
，0）Q4（4-
，0）（12分）
若以CM为对角线，Q5与Q1重合
∴共有四个点Q．
∴OC=OA，OD=OB
∴OC=2，OD=4
∴C（-2，0）D（0，4）B（4，0）
∴设此抛物线的解析式y=ax2+bx+4（a≠0）
将C（-2，O）B（4，0）代入
|
∴
|
∴抛物线的解析式为：y=-
| 1 |
| 2 |
（2）过E作EH⊥x轴，∵S△DEP=S△DCP-S△ECP
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
设点P（m，0）
∵P在BC之间运动
∴CP=m+2
∵PE∥BD
∴△CEP∽△CDB
∴
| EH |
| OD |
| CP |
| BC |
∴
| EH |
| 4 |
| m+2 |
| 6 |
∴EH=
| 2m+4 |
| 3 |
∴S△DEP=
| 1 |
| 2 |
| 2m+4 |
| 3 |
=-
| 1 |
| 3 |
∴当m=1时，S△DEP有最大值为3，此时P（1，0）（7分）
又∵D（0，4）
又设BD的解析式y=kx+4（k≠0）
将B（4，0）代入0=4k+4
k=-1
∴BD：y=-x+4
∵PE∥BD
∴设PE：y=-x+b，
将P（1，0）代入
即0=-1+b，
解得b=1
∴PE的解析式为：y=-x+1；（8分）
（3）存在
∵D（0，4）F（2，4）
CF：y=x+2
∴M（1，3）
若以CM为边
在y=-
| 1 |
| 2 |
解得：x1=1+
| 3 |
| 3 |
∴Q1（-2+
| 3 |
| 3 |
令y=-3，-
| 1 |
| 2 |
解得：x1=1+
| 15 |
| 15 |
Q3（4+
| 15 |
| 15 |
若以CM为对角线，Q5与Q1重合
∴共有四个点Q．
练习册系列答案
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于点B，tan∠OAB=
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