Question

将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD。

（1）填空：如图1，AC=______，BD=______；四边形ABCD是______梯形；
（2）请写出图1中所有的相似三角形（不含全等三角形）；
（3）如图2，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图2的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围。

Answer 1

解：（1）；；等腰； （2）共有9对相似三角形： 　①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似，分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；（有5对） ②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；（有2对） ③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；（有2对） 所以，一共有9对相似三角形。
（3）由题意知，FP∥AE， ∴ ∠1=∠PFB， 又∵ ∠1=∠2=30°， ∴ ∠PFB=∠2=30°， ∴ FP=BP， 过点P作PK⊥FB于点K， 则， ∵ AF=t，AB=8， ∴ FB=8-t，， 在Rt△BPK中， ， ∴ S与t之间的函数关系式为： 或， t的取值范围是。