Question

如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q．
探究：设A、P两点间的距离为x．
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值范围；
（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置．并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由．

Answer 1

（1）PQ=PB，（1分）
过P点作MN∥BC分别交AB、DC于点M、N，
在正方形ABCD中，AC为对角线，
∴AM=PM，
又∵AB=MN，
∴MB=PN，
∵∠BPQ=90°，
∴∠BPM+∠NPQ=90°；
又∵∠MBP+∠BPM=90°，
∴∠MBP=∠NPQ，
在Rt△MBP≌Rt△NPQ中，
∵

∠PMB=∠PNQ=90° BM=PN ∠MBP=∠NPQ

∴Rt△MBP≌Rt△NPQ，（2分）
∴PB=PQ．

（2）∵S_{四边形PBCQ}=S_△PBC+S_△PCQ，
∵AP=x，
∴AM=

2

2

x，
∴CQ=CD-2NQ=1-

2

x，
又∵S_△PBC=

1

2

BC•BM=

1

2

•1•（1-

2

2

x）=

1

2

-

2

4

x，
S_△PCQ=

1

2

CQ•PN=

1

2

（1-

2

x）•（1-

2

2

x），
=

1

2

x2-

3 2

4

x+

1

2

，
∴S_{四边形PBCQ}=

1

2

x2-

2

x+1．（0≤x≤

2

2

）．（4分）

（3）△PCQ可能成为等腰三角形．
①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，
PQ=QC，此时，x=0．（5分）
②当点Q在DC的延长线上，且CP=CQ时，（6分）
有：QN=AM=PM=

2

2

x，CP=

2

-x，CN=

2

2

CP=1-

2

2

x，CQ=QN-CN=

2

2

x-（1-

2

2

x）=

2

x-1，
∴当

2

-x=

2

x-1时，x=1．（7分）．