Question

【题目】二次函数y = ax2 ax + c图象的顶点为C，一次函数y = x + 3的图象与这个二次函数的图象交于A、B两点(其中点A在点B的左侧)，与它的对称轴交于点D．

(1)求点D的坐标；

(2) ①若点C与点D关于x轴对称，且△BCD的面积等于4，求此二次函数的关系式；

②若CD=DB，且△BCD的面积等于4，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）点D的坐标为（1，2）；（2）①；②或

【解析】

（1）函数的对称轴为：，当x=1时，y=-x+3=2，故点D（1，2）；

（2）①△BCD的面积=，求出B点坐标为(3,0)，把B点坐标代入即可求解；②设B（m，-m+3）（m>1），过点B作BE⊥CD于E，则BE=m﹣1，根据S△BCD=4， 得B（2+1，-2+2），分两种情况：当a＞0时，则点C在点D下方，当a<0时，则点C在点D上方，分别求解即可.

（1）∵二次函数的对称轴为直线x=1，

∴把x=1代入，得y=2，∴点D的坐标为(1,2)．

（2）∵点C与点D关于x轴对称，

∴点C的坐标为(1,-2)，

∴CD=4．

①设点B横坐标为x，则，解得x=3．

∵B点在函数y=-x＋3的图像上，

∴B点坐标为(3,0)．

∵二次函数的顶点为C(1，-2)，

∴它的函数关系式可设为，把B点坐标代入，得a=1，

∴此二次函数的关系式为．

②设B（m，-m+3）（m>1），由y=-x＋3可知y=-x＋3图像与DC相交成45°，过点B作BE⊥CD于E，则BE=m﹣1，DB=DC=BE，

由S△BCD=4， 得×（m﹣1）2=4，

m =2+1，m =-2+1（舍去），

DC=4，B（2+1，-2+2），

当a＞0时，则点C在点D下方，则点C的坐标为(1，-2)，

B点代入得a=，

当a<0时，则点C在点D上方，则点C的坐标为(1，6)，

B点代入得a= ，

综上所述a的值为：或 .