题目内容

【题目】如图,在△ABC中,DBC边上的一点,EAD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF

1BDCD有什么数量关系,并说明理由;

2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?并说明理由.

【答案】解:(1BD=CD。理由如下:

∵AF∥BC∴∠AFE=∠DCE

∵EAD的中点,∴AE=DE

△AEF△DEC中,∠AFE=∠DCE∠AEF=∠DECAE=DE

∴△AEF≌△DECAAS)。∴AF=CD

∵AF=BD∴BD=CD

2)当△ABC满足:AB=AC时,四边形AFBD是矩形。理由如下:

∵AF∥BDAF=BD四边形AFBD是平行四边形。

∵AB=ACBD=CD∴∠ADB=90°

AFBD是矩形。

【解析】

试题(1)根据两直线平行,内错角相等求出∠AFE=∠DCE,然后利用角角边证明△AEF△DEC全等,根据全等三角形对应边相等可得AF=CD,再利用等量代换即可得证;

2)先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形,再根据一个角是直角的平行四边形是矩形,可知∠ADB=90°,由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC

试题解析:(1BD=CD

理由如下:依题意得AF∥BC

∴∠AFE=∠DCE

∵EAD的中点,

∴AE=DE

△AEF△DEC中,

∴△AEF≌△DECAAS),

∴AF=CD

∵AF=BD

∴BD=CD

2)当△ABC满足:AB=AC时,四边形AFBD是矩形.

理由如下:∵AF∥BDAF=BD

四边形AFBD是平行四边形,

∵AB=ACBD=CD(三线合一),

∴∠ADB=90°

∴AFBD是矩形.

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