题目内容

【题目】如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上,且AC=CF,∠CBF=∠CFB.
(1)求证:直线BF是⊙O的切线;
(2)若点D,点E分别是弧AB的三等分点,当AD=5时,求BF的长和扇形DOE的面积.

【答案】
(1)证明:∵∠CBF=∠CFB,

∴CB=CF,

又∵AC=CF,

∴CB= AF,

∴△ABF是直角三角形,

∴∠ABF=90°

∴直线BF是⊙O的切线


(2)解:连接DO,EO,

∵点D,点E分别是弧AB的三等分点,

∴∠AOD=60°,

又∵OA=OD,

∴△AOD是等边三角形,

∴∠OAD=60°,

又∵∠ABF=90°,AD=5,

∴AB=10,

∴BF=10

扇形DOE的面积= = π.


【解析】(1)证明直线BF是⊙O的切线,只需证明∠ABF=90°;(2)连接DO,EO,根据题意证明△AOD是等边三角形,得到△ABC是等边三角形,根据勾股定理求出BF的长,根据扇形面积公式: 求出扇形DOE的面积.
【考点精析】本题主要考查了扇形面积计算公式的相关知识点,需要掌握在圆上,由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形;扇形面积S=π(R2-r2)才能正确解答此题.

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