Question

如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q.

（1）求证：△ADC≌△BEA；
（2）若PQ=4，PE=1，求AD的长.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）9.

试题分析：（1）由已知可得△ABC是等边三角形，从而得到∠BAC=∠C=60°，根据SAS即可判定△ADC≌△BEA；
（2）根据全等三角形的性质可得到∠ABE=∠CAD，再根据等角的性质即可求得∠BPQ=60°，再根据余角的性质得到∠PBQ=30°，根据在直角三角形中30°的角对的边是斜边的一半即可证得结果．
试题解析：（1）∵AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠BAC=∠C=60°．
∵AB=AC，AE=CD，
∴△ADC≌△BEA．
（2）∵△ADC≌△BEA，
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠CAD+∠BAD=60°，
∴∠ABE+∠BAD=60°．
∴∠BPQ=60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°．
∴BP=2PQ=8．
∴BE=BP+PE=8+1=9,
又BE=AD
∴AD=9.
考点: 1.等边三角形的判定与性质；2.三角形全等的判定与性质.