题目内容

如图，在梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，点E是BC的中点，AB=AD=BE=2cm，动点P从B点开始，以1cm/s的速度，沿折线B→A→D→E做匀速运动，同时动点Q从点B出发，以相同的速度，沿B→E→C→E做匀速运动，过点P作PF⊥BC于点F，
设△PFQ的面积为S，点P运动的时间为x（s）（0＜x＜6）．
（1）当点P在AB上运动时，直接判断△PFQ的形状；
（2）在运动过程中，四边形PQCD能变成哪些特殊的四边形？（直接回答，无需证明）并写出相应的x的取值范围；
（3）求S与x的函数关系式．

解：（1）∵点P在AB上运动，
P，Q运动速度相同，P作PF⊥BC于点F，B，F重合，
∴PF=FQ，
∴△PFQ是等腰直角三角形；

（2）当0＜x＜2时，四边形PQCD是一般梯形；
当2≤x＜4时，四边形PQCD是平行四边形；
当4＜x＜6时，四边形PQCD是等腰梯形；

（3）如图1所示：
当0＜x＜2时，
∴PF=BQ=x，
∴S_△PFQ= $\text{[math]}$ x²，
如图2所示：
当2≤x＜4时，

∵P，Q运动速度相同，
∴AP=EQ，
∵EC=DE=2，
∴∠C=45°，
∴∠PQF=45°，
∴PF=FQ=2，
S_△PFQ= $\text{[math]}$ ×PF×FQ=2，
如图3所示：

当4＜x＜6时，
由题意可得：DP=CQ，
∴PE=EQ，
∴S_△PFQ= $\text{[math]}$ ×PF×FQ= $\text{[math]}$ （6-x）²，
综上所述：
$\text{[math]}$
分析：（1）利用点P在AB上运动，P，Q运动速度相同，P作PF⊥BC于点F，即可得出△PFQ是等腰直角三角形；
（2）利用当0＜x＜2时，四边形PQCD是一般梯形；当2≤x＜4时，四边形PQCD是平行四边形；当4＜x＜6时，四边形PQCD是等腰梯形；
（3）根据当0＜x＜2时，当2≤x＜4时，当4＜x＜6时，分别得出S与x之间的函数关系得出即可．
点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的形的性质和三角形面积求法等知识，根据P，Q运动路线得出正确图形是解题关键．