Question

如图, ΔABC是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F。

(1)求证：ΔABD≌ΔBCE.
(2)ΔAEF与ΔABE相似吗?请说明理由.
(3)成立吗?请说明理由.

Answer 1

(1)证明∵ΔABC是等边三角形∴AB=BC,∠ABD=∠CBE=60°∵BD=CE∴ΔABD≌ΔBCE
（2）相似，两个三角形三组对应角对应相等，两三角形相似。
（3）成立。如果两三角形相似，那么这两个三角形对应边的比相等。

试题分析：(1)证明：∵ΔABC是等边三角形
∴AB=BC,∠ABD=∠CBE=60°
∵BD=CE
∴ΔABD≌ΔBCE
(2) ΔAEF与ΔABE相似
∵ΔABD≌ΔBCE
∴∠BAD=∠CBE
∵∠BAC=∠CBA=60°
∴∠ABE=∠FAE
∵∠AFE=∠BAD+∠ABE
∴∠AFE=∠CBE+∠ABE=∠CBA
∴ΔAEF∽ΔABE
(3) 成立
∵∠BAD=∠CBE, ∠ADB=∠BDF
∴ΔBDF∽ΔADB
∴
∴
点评：本题难度中等，主要考查学生对全等三角形和相似三角形判定的学习。要证明两个三角形全等，可以用到“边角边，角边角，边边边定理”等，而相似三角形只需要求证两三角形两组对应角相等或两组对应边比值相等。熟练掌握全等及相似三角形的判定定理，是解这类题型的关键。