Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点．
（1）求直线BC及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．

Answer 1

（1）∵y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C，
∴C（0，3）．
设直线BC的解析式为y=kx+3．
∵B（3，0）在直线BC上，
∴3k+3=0．
解得k=-1．
∴直线BC的解析式为y=-x+3．（1分）
∵抛物线y=x²+bx+c过点B，C，
∴

9+3b+c=0 c=3

解得

b=-4 c=3

，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3．（2分）

（2）由y=x²-4x+3．
可得D（2，-1），A（1，0）．
∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2．
可得△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，CB=3

2

．
如图1，设抛物线对称轴与x轴交于点F，
∴AF=

1

2

AB=1．
过点A作AE⊥BC于点E．
∴∠AEB=90度．
可得BE=AE=

2

，CE=2

2

．
在△AEC与△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
∴△AEC∽△AFP．
∴

AE

AF

=

CE

PF

，

2

1

=

2 2

PF

．
解得PF=2．∵点P在抛物线的对称轴上，
∴点P的坐标为（2，2）或（2，-2）．（5分）

（3）解法一：
如图2，作点A（1，0）关于y轴的对称点A'，则A'（-1，0）．
连接A'C，A'D，
可得A'C=AC=

10

，∠OCA'=∠OCA．
由勾股定理可得CD²=20，A'D²=10．
又∵A'C²=10，
∴A'D²+A'C²=CD²．
∴△A'DC是等腰直角三角形，∠CA'D=90°，
∴∠DCA'=45度．
∴∠OCA'+∠OCD=45度．
∴∠OCA+∠OCD=45度．
即∠OCA与∠OCD两角和的度数为45度．（7分）
解法二：
如图3，连接BD．
同解法一可得CD=

20

，AC=

10

．
在Rt△DBF中，∠DFB=90°，BF=DF=1，
∴DB=

DF2+BF2

=

2

．
在△CBD和△COA中，

DB

AO

=

2

1

=

2

，

BC

OC

=

3 2

3

=

2

，

CD

CA

=

20

10

=

2

．
∴

DB

AO

=

BC

OC

=

CD

CA

．
∴△CBD∽△COA．
∴∠BCD=∠OCA．
∵∠OCB=45°，
∴∠OCA+∠OCD=45度．
即∠OCA与∠OCD两角和的度数为45度．（9分）