Question

如图，抛物线y=ax²+bx+2经过点A（-1，0），B（5，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P为线段AB上一点，连接PC．将线段PC绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接BF．设点P的坐标为（t，0），△PBF的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出当△PBF的面积最大时，点P的坐标及此时△PBF的最大面积；
（3）在（2）的条件下，点P在线段OB上移动的过程中，△PBF能否成为等腰三角形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）（法一）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+2（a≠0），把A（-1，0），B（5，0），三点代入解析式得：

a-b+c=0 25a+5b+c=0 c=2

，
解得

a=- 2 5 b= 8 5 c=2

；
∴y=-

2

5

x2+

8

5

x+2；
（法二）设抛物线的解析式为y=a（x-5）（x+1），
把（0，2）代入解析式得：2=-5a，
∴a=-

2

5

；
∴y=-

2

5

(x+1)(x-5)，
即y=-

2

5

x2+

8

5

x+2；

（2）①过点F作FD⊥x轴于D，如图1，
当点P在原点左侧时（-1≤t＜0），BP=5-t，DF=-t；
∴S_△PBF=

1

2

BP×DF=

1

2

t2-

5

2

t（-1≤t≤0），
当t=-1时，S_△PBF有最大值2；此时P点坐标为（-1，0）；



②当点P在原点右侧时（0＜t≤5），如图2，DF=t，BP=5-t；
∴S_△PBF=

1

2

BP×DF=-

1

2

t²+

5

2

t（0＜t≤5）；
当t=

5

2

时，S_△PBF有最大值

25

8

；此时坐标为（

5

2

，0）；
综上S与t的函数关系式为S=

1 2 t2- 5 2 t(-1≤t≤0) - 1 2 t2+ 5 2 t(0＜t≤5)

，
当t=

5

2

时，S_△PBF有最大值

25

8

；此时坐标为（

5

2

，0）；



（3）能；
设P点坐标为（t，0），
当-1≤t≤0时，这样的等腰三角形不存在，
当0＜t≤5时，如图3，F点坐标为（2+t，t），
PF=

4+t2

，FB=

(3-t)2+t2

，
若△PBF是等腰三角形，则PF=FB，
解得t=1或t=5（不符合题意舍去），
故当t=1时△PBF是等腰三角形．