Question

在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数的图像经过原点及点A（1,2），与x轴相交于另一点B(3,0)，将点B向右平移3个单位得点C．
（1）求二次函数的解析式；
(2)点M在线段OC上，平面内有一点Q，使得四边形ABMQ为菱形，求点M坐标；
（3）点P在线段OC上，从O点出发向C点运动，过P点作x轴的垂线，交直线AO于D点，以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF（当P点运动时，点D、点E、点F也随之运动）；
①当点E在二次函数的图像上时，求OP的长；
②若点P从O点出发向C点做匀速运动，速度为每秒1个单位长度，若P点运动t秒时，直线AC与以DE为直径的⊙M相切，直接写出此刻t的值．

Answer 1

（1）y=-x²+3x；（2）（1，0）或（3-2，0）或（3+2，0）；（3）或.

解析试题分析：（1）可设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，利用二次函数的图象经过原点及点A（1，2），B（3，0），分别代入求出a，b，c的值即可；
（2）分M是AB的垂直平分线与x轴的交点；M在B点左边并且BM=AB；M在B点右边并且BM=AB；三种情况讨论可得点M坐标；
（3）①过A点作AH⊥x轴于H点，根据DP∥AH，得出△OPD∽△OHA，进而求出OP的长；
②分两种情况讨论，求出t的值即可．
试题解析：（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
∵二次函数的图象经过原点及点A（1，2），B（3，0），
∴，
解得．
故二次函数解析式为：y=-x²+3x；
（2）M是AB的垂直平分线与x轴的交点，点M坐标是（1，0）；
M在B点左边并且BM=AB，点M坐标是（3-2，0）；
M在B点右边并且BM=AB，点M坐标是（3+2，0）；
故点M坐标为（1，0）或（3-2，0）或（3+2，0）；
（3）①由已知可得C（6，0）
如图：过A点作AH⊥x轴于H点，
∵DP∥AH，
∴△OPD∽△OHA，
∴，
即，
∴PD=2a，
∵正方形PDEF，
∴E（3a，2a），
∵E（3a，2a）在二次函数y₁=-x²+3x的图象上，
∴a=；
即OP=．
②直线AC与以DE为直径的⊙M相切，此刻t的值为：或.
考点：二次函数综合题．