Question

在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴相交于点，顶点为，点在这个二次函数图象的对称轴上．若四边形是一个边长为2且有一个内角为的菱形．求此二次函数的表达式．

Answer 1

y=（x-1）²-1；y=（x-1）²-；y=-（x-1）²+1；y=-（x-1）²+．

解析试题分析：根据题意，画出图形，可得以下四种情况：
（1）以菱形长对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向上；
（2）以菱形长对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向下；
（3）以菱形短对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向上；
（4）以菱形短对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向下，
解答时都利用四边形ACBD是一个边长为2且有一个内角为60°的条件根据解直角三角形的相关知识解答．
本题共有4种情况．
设二次函数的图象的对称轴与x轴相交于点E．
（1）如图①，
当∠CAD=60°时，
因为ACBD是菱形，一边长为2，
所以DE=1，BE=，
所以点D的坐标（1，1），点C的坐标为（1，-1），
解得k=-1，a=．
所以y=（x-1）²-1．

（2）如图②，当∠ACB=60°时，由菱形性质知点A的坐标为（0，0），点C的坐标为（1，-）．
解得k=-，a=，
所以y=（x-1）²-．
同理可得：y=-（x-1）²+1，y=-（x-1）²+．
考点：二次函数综合题．