题目内容
【题目】如图，抛物线
与
轴交于
，
两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若抛物线交
轴于
点，在该抛物线的对称轴上是否存在点
，使得
的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）
；（2）存在，当
的周长最小时，
点的坐标为
．
【解析】
（1）直接利用待定系数求出二次函数解析式即可；
（2）首先求出直线BC的解析式，再利用轴对称求最短路线的方法得出答案.
（1）
抛物线
与
轴交于
两点
解得：
该抛物线的解析式为
（2）该抛物线的对称轴上存在点，使得的周长最小．
如解图所示，作点
关于抛物线对称轴的对称点
，连接
，
交对称轴于点，连接
，
点关于抛物线对称轴的对称点，且，交对称轴于点
，
的周长为
，
为抛物线对称轴上一点，
的周长
，
当点处在解图位置时，的周长最小．
在中，当
时，
，
，
，
抛物线的对称轴为直线
，
点是点关于抛物线对称轴直线的对称点，且
．
设过点
两点的直线
的解析式为：
，
在直线上，
，解得：
，
直线的解析式为：
，
抛物线对称轴为直线，且直线与抛物线对称轴交于点，
在
中，当时，
，
，
在该抛物线的对称轴上存在点，使得的周长最小，当的周长最小时，点的坐标为
【题目】数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：如图1，将长为
的铅笔
斜靠在垂直于水平桌面
的直尺
的边沿上，一端
固定在桌面上，图2是示意图．
活动一
如图3，将铅笔绕端点顺时针旋转，与
交于点
，当旋转至水平位置时，铅笔的中点
与点
重合．
数学思考
（1）设
，点
到的距离
．
①用含
的代数式表示：
的长是_________
，
的长是________；
②
与的函数关系式是_____________，自变量的取值范围是____________．
活动二
（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格．
| 6 | 5 | 4 | 3.5 | 3 | 2.5 | 2 | 1 | 0.5 | 0 |
| 0 | 0.55 | 1.2 | 1.58 | 1.0 | 2.47 | 3 | 4.29 | 5.08 |
②描点：根据表中数值，描出①中剩余的两个点
．
③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．
数学思考
（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．
