题目内容
【题目】已知:如图,矩形ABCD中,点E、F分别在DC,AB边上,且点A、F、C在以点E为圆心,EC为半径的圆上,连接CF,作EG⊥CF于G,交AC于H.已知AB=6,设BC=x,AF=y.
(1)求证:∠CAB=∠CEG;
(2)①求y与x之间的函数关系式. ②x= 时,点F是AB的中点;
(3)当x为何值时,点F是的中点,以A、E、C、F为顶点的四边形是何种特殊四边形?试说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)①y=﹣x2+6②3(3)2
【解析】
(1)连接EF,由于EG经过圆心E,且与弦CF垂直,由垂径定理知∠CEF=2∠CEG,而圆周角∠CAF和圆心角∠CEG所对的弧正好相同,由圆周角定理知∠CEG=2∠CAF,由此得证;
(2)①设⊙O的半径为r,连接EA、EF;由于EA=EF,那么E点在AF的垂直平分线上,因此AF=2DE,即y=2(6﹣r),所以只需求出r、x的关系式即可;Rt△ADE中,AD=x,用r可表示出AE、DE的长,即可由勾股定理求得r、x的关系式,由此得解;②当F是AB中点时,AF=y=3,将其代入①的函数关系式中,即可求得x的值;
(3)当F是弧AC的中点时,EF垂直平分AC,可得AE=EC,AF=FC;易知∠AEF=∠CEF,而∠CEF和∠AFE是平行线的内错角,等量代换后可得∠AEF=∠AFE=∠FAE,由此可证得△EAF是正三角形,由此可证得四边形AECF的四边都相等,即四边形AECF是菱形;此时∠CFB=∠EAF=60°,在Rt△CFB中,易知BF=CF,而AF=FC,那么BF即为AF的一半、AB的三分之一,由此可求得BF的长,进而可得到BC(即x)的长.
(1)连接EF(如图1),
∵点A、F、C在以点E为圆心,EC为半径的圆上,
∴EF=EC,
∵EG⊥CF,
∴∠CEF=2∠CEG,
∵∠CEF=2∠CAB,∴∠CAB=∠CEG;
(2)(如图2)①连接EF、EA,
设⊙E的半径为r,
在Rt△ADE中,EA=r,DE=6﹣r,AD=x,
∴x2+(6﹣r)2=r2,r=x2+3,
∵EF=EA,
∴AF=2DE,
即y=2(6﹣r)=﹣x2+6;
②点F是AB的中点时,y=3,即﹣x2+6=3,
∴x=;
(3)(如图3)
当x=时,F是弧AC的中点.此时四边形AECF菱形;
理由如下:
∵点F是弧AC的中点,
∴∠AEF=∠CEF,AF=CF,
∵AB∥CD,
∴∠AFE=∠CEF,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF,
∵AE=EF,
∴AE=AF=CE=CF,
∴△AEF和△CEF都是正三角形,
∴四边形AECF是菱形,且∠CEF=60°,
∴∠BCF=30°,∴BF=CF=AF=AB=2,BC=.