题目内容
【题目】A、B、C 为数轴上三点，若点 C 到点 A 的距离是点 C 到点 B 的距离的 2倍，则称点 C 是（A，B）的奇异点，例如图 1 中，点 A 表示的数为﹣1，点B 表示的数为 2，表示 1 的点 C 到点 A 的距离为 2，到点 B 的距离为 1，则点C 是（A，B）的奇异点，但不是（B，A）的奇异点．
(1)在图 1 中，直接说出点 D 是（A，B）还是（B，C）的奇异点；
(2)如图 2，若数轴上 M、N 两点表示的数分别为﹣2 和 4，（M，N）的奇异点 K 在 M、N 两点之间，请求出 K 点表示的数；
(3)如图 3，A、B 在数轴上表示的数分别为﹣20 和 40，现有一点 P 从点 B 出发，向左运动．
①若点 P 到达点 A 停止，则当点 P 表示的数为多少时，P、A、B 中恰有一个点为其余两点的奇异点？
②若点 P 到达点 A 后继续向左运动，是否存在使得 P、A、B 中恰有一个点为其余两点的奇异点的情况？若存在，请直接写出此时 PB 的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点D是（B，C）的奇异点，不是（A，B）的奇异点；（2）（M，N）的奇异点表示的数是2；（3）①点P表示的数是0或10或20时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇异点；②PB=120或180或90.
【解析】
（1）根据奇异点的定义和数轴上两点间的距离，即可求出点D到点A的距离为1，到点B的距离为2，以及点D到点C的距离为1，就可以对点D做出判断.
（2）设奇异点表示的数为x，根据奇异点的定义可得方程：x﹣（﹣2）=2（4﹣x）．从而求得x值.
(3)①当P在A、B两点之间时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇异点需分类讨论，具体分四种情况讨论：当点P是（A，B）的奇异点时、当点P是（B，A）的奇异点时、当点A是（B，P）的奇异点时、当点B是（A，P）的奇异点时，计算方法同（1）.
②点P到达点A后继续向左运动，是否存在使得P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇异点的情况方法同①分四种情况讨论：当点P为（B，A）的奇异点时，PB=120；
当点A为（P，B）的奇异点时，PB=180；当点A为（B，P）的奇异点时，PB=90；
当点B为（P，A）的奇异点时，PB=120．
（1）在图1中，点D到点A的距离为1，到点B的距离为2，
∴点D是（B，C）的奇异点，不是（A，B）的奇异点；
（2）设奇异点表示的数为x，
则由题意，得x﹣（﹣2）=2（4﹣x）．
解得x=2．
∴（M，N）的奇异点表示的数是2；
（3）①设点P表示的数为y．
当点P是（A，B）的奇异点时，
则有y+20=2（40﹣y），
解得y=20．
当点P是（B，A）的奇异点时，
则有40﹣y=2（y+20），
解得y=0．
当点A是（B，P）的奇异点时，
则有40+20=2（y+20），
解得y=10．
当点B是（A，P）的奇异点时，
则有40+20=2（40﹣y），解得y=10．
∴当点P表示的数是0或10或20时，
P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇异点．
②当点P为（B，A）的奇异点时，PB=120；
当点A为（P，B）的奇异点时，PB=180；
当点A为（B，P）的奇异点时，PB=90；
当点B为（P，A）的奇异点时，PB=120．
