题目内容
【题目】如图，直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝
x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO＝45°时，求点M的坐标；
（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝
x2﹣x﹣4，C（﹣3，0）；（2）满足条件的点M的坐标为（
，﹣
）或（5，
）；（3）存在满足条件的点D，点D坐标为（﹣
，﹣
）或（1，﹣2）或（﹣
，
）．
【解析】
第一问求解析式主要利用待定系数求解，利用一次函数y＝x﹣4，求解出A点坐标和B点坐标，然后代入方程即可，
第二问求解M点的坐标，需要讨论，因为∠MBA+∠CBO＝45°是动态的，故当BM⊥BC时是一种情况，利用tan∠M1BE＝tan∠BCO＝
，可以给出等式关系，求出M点，BM与BC关于y轴对称时是第二种情况，tan∠M2BE＝tan∠CBO＝
，可以出给等式关系，求出M点
第三问，需要讨论，因为四个点，知晓其中三个点，可以这样讨论，当CP为菱形的边，CQ为对角线这是第一种情况，利用解直角三角形求出Q点的纵坐标，就知道D点的纵坐标，然后利用cos∠BCO＝
，建立等式即可求出菱形的边长，利用菱形边长和Q点横坐标，即可得到Q点横坐标，当CQ和CP均为菱形的边这是第二种情况，因为CP=CQ=BQ，所以Q点在BC的中，即菱形的边长出来了，利用解直角三角形即可给出Q点的纵坐标，知道菱形的边长，所以D点的横纵坐标都出来了，当CQ为菱形的边，CP为菱形的对角线这是第三种情况，利用解直角三角形，可以给出Q点坐标，我们可以知道D点和Q点关于x轴对称，有菱形的基本性质可以知道，所以D点坐标出来了
（1）直线解析式y＝x﹣4，
令x＝0，得y＝﹣4；
令y＝0，得x＝4．
∴A（4，0）、B（0，﹣4）．
∵点A、B在抛物线y＝x2+bx+c上，
∴
，
解得
，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣4．
令y＝x2﹣x﹣4＝0，
解得：x＝﹣3或x＝4，
∴C（﹣3，0）．
（2）∠MBA+∠CBO＝45°，
设M（x，y），
①当BM⊥BC时，如答图2﹣1所示．
∵∠ABO＝45°，
∴∠MBA+∠CBO＝45°，故点M满足条件．
过点M1作M1E⊥y轴于点E，则M1E＝x，OE＝﹣y，
∴BE＝4+y．
∵tan∠M1BE＝tan∠BCO＝，
∴
，
∴直线BM1的解析式为：y＝x﹣4．
联立y＝x﹣4与y＝x2﹣x﹣4，
得：x﹣4＝x2﹣x﹣4，
解得：x1＝0，x2＝ ，
∴y1＝﹣4，y2＝﹣ ，
∴M1（，﹣）；
②当BM与BC关于y轴对称时，如答图2﹣2所示．
∵∠ABO＝∠MBA+∠MBO＝45°，∠MBO＝∠CBO，
∴∠MBA+∠CBO＝45°，
故点M满足条件．
过点M2作M2E⊥y轴于点E，
则M2E＝x，OE＝y，
∴BE＝4+y．
∵tan∠M2BE＝tan∠CBO＝，
∴
，
∴直线BM2的解析式为：y＝x﹣4．
联立y＝x﹣4与y＝x2﹣x﹣4得：x﹣4＝x2﹣x﹣4，
解得：x1＝0，x2＝5，
∴y1＝﹣4，y2＝，
∴M2（5，）．
综上所述，满足条件的点M的坐标为：（，﹣ ）或（5，）．
（3）设∠BCO＝θ，则tanθ＝ ，sinθ＝
，cosθ＝．
假设存在满足条件的点D，设菱形的对角线交于点E，设运动时间为t．
①若以CQ为菱形对角线，如答图3﹣1．此时BQ＝t，菱形边长＝t．
∴CE＝
CQ＝（5﹣t）．
在Rt△PCE中，cosθ＝
＝
＝ ，
解得t＝
．
∴CQ＝5﹣t＝
．
过点Q作QF⊥x轴于点F，
则QF＝CQsinθ＝，CF＝CQcosθ＝，
∴OF＝3﹣CF＝
．
∴Q（﹣，﹣）．
∵点D1与点Q横坐标相差t个单位，
∴D1（﹣，﹣）；
②若以PQ为菱形对角线，如答图3﹣2．此时BQ＝t，菱形边长＝t．
∵BQ＝CQ＝t，
∴t＝
，点Q为BC中点，
∴Q（﹣
，﹣2）．
∵点D2与点Q横坐标相差t个单位，
∴D2（1，﹣2）；
③若以CP为菱形对角线，如答图3﹣3．此时BQ＝t，菱形边长＝5﹣t．
在Rt△CEQ中，cosθ＝
＝
＝，
解得t＝．
∴OE＝3﹣CE＝3﹣t＝ ，D3E＝QE＝CQsinθ＝（5﹣ ）× ＝．
∴D3（﹣，）．
综上所述，存在满足条件的点D，点D坐标为：（﹣，﹣）或（1，﹣2）或（﹣，）．
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