Question

【题目】如图，⊙O的半径为4，A、C两点在⊙O上，点B在⊙O内，，AB⊥AC，若OB⊥OC，那么OB的长为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作CN⊥MA交MA的延长线于N，得出四边形COMN是矩形，通过证明C、O、B、A四点共圆，得出∠AOB＝∠ACB，利用同角的正切函数值相等以及勾股定理求出AM，OM，AN的长，最后通过证明△AMB∽△CNA进行求解．

如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作CN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形COMN是矩形．

∵∠COB＝∠CAB＝90°，

∴C、O、B、A四点共圆，

∴∠AOB＝∠ACB，

∴tan∠AOM＝tan∠ACB＝，

设AM＝4k，OM＝3k，

在Rt△OMA中，，

解得，（负根舍去），

∴，，AN＝MN﹣AM＝，

∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠MAB+∠CAN＝90°，

∴∠ABM＝∠CAN，

∵∠AMB＝∠CNA＝90°，

∴△AMB∽△CNA，

∴，

∴BM＝，

∴OB＝OM﹣BM＝．

故答案为：．