Question

【题目】如图，直线l：y＝3x﹣3分别与x轴，y轴交于点A，点B，抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4过点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点C是第四象限抛物线上一动点，连接AC，BC．

①当△ABC的面积最大时，求点C的坐标及△ABC面积的最大值；

②在①的条件下，将直线l绕着点A逆时针方向旋转到直线l'，l'与线段BC交于点D，设点B，点C到l'的距离分别为d1和d2，当d1+d2最大时，求直线l旋转的角度．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①点C的坐标为（），△ABC面积的最大值为；②直线l旋转的角度是45°

【解析】

（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值，则抛物线的解析式的解析式可求出；
（2）①设C的坐标为（m，m2-2m-3），然后根据面积关系S△ABC=S四边形OACB-S△AOB可求出△ABC的面积，由二次函数的性质可求出△ABC面积的最大值及此时点C的坐标；
②如图2，过点B作BN垂直于l′于N点，过点C作CM垂直于l′于M点，则BN=d1，CM=d2，可将求d1+d2最大值转化为求AD的最小值．

（1）令x=0代入y=3x-3，
∴y=-3，
∴B（0，-3），
把B（0，-3）代入y=ax2-2ax+a-4，
∴-3=a-4，
∴a=1，
∴二次函数解析式为：y=x2-2x-3；

（2）如图1，连结OC，

令y=0代入y=3x-3，
∴0=3x-3，
∴x=1，
∴A的坐标为（1，0），
由题意知：C的坐标为（m，m2-2m-3），
S△ABC=S四边形OACB-S△AOB
=S△OBC+S△OAC-S△AOB
=，
∴当m=时，S取得最大值，
当m=时，m2-2m-3=53＝，
∴点C的坐标为（），△ABC面积的最大值为；
（3）如图2，过点B作BN垂直于l′于N点，过点C作CM垂直于l′于M点，直线l'交BC于点D，则BN=d1，CM=d2，

∵S△ABC=×AD×（d1+d2）
当d1+d2取得最大值时，AD应该取得最小值，当AD⊥BC时取得最小值．
根据B（0，-3）和C（）可得BC= ，
∵S△ABC= ，
∴AD=，
当AD⊥BC时，cos∠BAD= ，
∴∠BAD=45°．
即直线l旋转的角度是45°．