题目内容

【题目】已知,AB是O的直径,BC是弦,直线CD是O的切线,切点为C,BDCD.

(1)如图1,求证:BC平分ABD;

(2)如图2,延长DB交O于点E,求证:弧AC =弧EC

(3)如图3,在(2)的条件下,连接EA并延长至F,使EF=AB,连接CF、CE,若tanFCE=,BC=5,求AF的长.

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)AF=EF﹣AE=

【解析】

试题分析:(1)如图1中,欲证明BC平分ABD,只要证明CBD=CBO,只要证明BDOC即可.(2)如图2中,连接AE,连接CO并延长交AE于M欲证明弧AC =弧EC,只要证明CMAE即可.(3)如图3中,连接AC,连接CO并延长交AE于M,过F作FHCE于H,首先证明FHE≌△ACB,根据tanFCE=,设FH=12k,CH=7k,列出方程求出k,通过解直角三角形分别求出EF、AE即可解决问题.

试题解析:(1)证明:如图1中,连接OC,

AB是O直径,DC是O切线,

OCCD,

∴∠OCD=90°,BDCD,∴∠D=90°,

∴∠OCD+D=180°,

OCBD,

∴∠OCB=CBD,

OB=OC,

∴∠OCB=OBC,

∴∠OBC=CBD,

BC平分OBD.

(2)证明:如图2中,连接AE,连接CO并延长交AE于M.

AB是直径,

∴∠AEB=90°,

CMDB,

∴∠AMC=AEB=90°,

CMAB,

∴∠AMC=AEB=90°,

CMAB,且CM经过圆心O,

弧AC =弧EC

(3)解:如图3中,连接AC,连接CO并延长交AE于M,过F作FHCE于H,

FHCE,

∴∠FHE=FHC=90°,

由(2)可知AMC=90°,

∴∠CME=90°,

AB是直径,

∴∠ACB=90°,

∴∠FHE=ACB=90°,

FH=AB,FEH=ABC,

∴△FHE≌△ACB,

FH=AC,EH=BC,

在RTFHC中,tanFCE=,设FH=12k,CH=7k,

FH=AC=12k,

弧AC =弧EC

CE=AC=12k,

EH=BC=5k,

BC=5,

5k=5,

k=1,AC=12,

在RTACB中,AB==13,AB=EF=13,

在RTACB中,sinABC=∵∠ABC=CBD,

在RTCBD中,sinCBD=CD=

∵∠AED=D=ACB=90°,

四边形CMED是矩形,

CD=ME=

AM=ME,

AE=2ME=

AF=EF﹣AE=

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