Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21.动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动.设运动的时间为t（秒）.

（1）当t=2时，求△BPQ的面积；
（2）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t.
（3）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

Answer 1

（1）84；（2）5；（3）或

试题分析：（1）先求出t=2时BQ的长，再根据三角形的面积公式即可求得结果；
（2）根据平行四边形的判定方法可知只须AP=BQ，即可得到关于t的方程，解出即可；
（3）分三种情况：
（1）∵BQ=16－2=14，∴；
（2）只须AP=BQ，即，解得t=5；
（3）下面分三种情况讨论：①以∠B为顶角时，BP=BQ，②以∠Q为顶角时，QB=QP，③以∠P为顶角时，PB=PQ，再根据等腰三角形的性质分析即可.
①以∠B为顶角时，BP=BQ，
有，，∵△＜0 ∴无解
②以∠Q为顶角时，QB=QP，有：
，解得 
③以∠P为顶角时，PB=PQ，有：
，解得 
综上，或时，符合题意.
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．