题目内容
设x1，x2，…，x12是任意互异的12个整数，试证明其中一定存在8个整数x1，x2，…，x8，使得：（x1-x2）×（x3-x4）×（x5-x6）×（x7-x8）恰是1155的倍数．
分析：因为1155=3×5×7×11，所以只要证明这个积是3，5，7，11的公倍数既可．因为有十二个数，所以（根据抽屉原理）一定存在两个数，他们除以11的余数相同，不妨设x1，x2，那么（x1-x2）是11的倍数．同理还有10个数那么这10个数中一定有两个数，它们除以7的余数相同，不妨设x3、x4，那么x3-x4是7的倍数．以此类推，8个数中一定有两个数的差能被5整除，6个数中一定有两个数的差能被3整除．那么它们就可以被11×7×5×3=1155整除．
解答：解：对1155分解质因数得1155=3×5×7×11．
因为，在所给的12数中，必有2数除以11，余数相同，设这2数为x1，x2，则（x1-x2）是11的倍数．
在剩下的数中，必有2数除以7，余数相同，设这2数为x3，x4，则（x3-x4）是7的倍数．
在剩下的8数中，必有2数除以5，余数相同，设这2数为x5，x6，则（x5-x6）是5的倍数．
在剩下的6数中，必有2数除以3，余数相同，设这二数为x7，x8，则（x7-x8）是3的倍数．
故存在8个数x1，x2，x8，使（x1-x2）（x3-x4）（x5-x6）（x7-x8）是1155的倍数．
因为，在所给的12数中，必有2数除以11，余数相同，设这2数为x1，x2，则（x1-x2）是11的倍数．
在剩下的数中，必有2数除以7，余数相同，设这2数为x3，x4，则（x3-x4）是7的倍数．
在剩下的8数中，必有2数除以5，余数相同，设这2数为x5，x6，则（x5-x6）是5的倍数．
在剩下的6数中，必有2数除以3，余数相同，设这二数为x7，x8，则（x7-x8）是3的倍数．
故存在8个数x1，x2，x8，使（x1-x2）（x3-x4）（x5-x6）（x7-x8）是1155的倍数．
点评：本题要在了解“抽屉原理”的基础上完成．
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