Question

设x₁、x₂、…x₃₀是任意给定的30个整数，证明其中一定存在8个整数，把这8个整数用适当的运算符号连接起来，结果正好是1155的倍数．

Answer 1

分析：首先把1155分解质因数为1155=3×5×7×11，而（3+1）+（5+1）+（7+1）+（11+1）=30，进一步把30个整数分为4个，6个，8个，12个共4组，每一组相对应构造3个，5个，7个，11个抽屉，利用余数的特点，找出两数的差一定是3、5、7、11的倍数，由此为题得以解决．

解答：解：因为1155=3×5×7×11，所以将30个数分成四组：
第一组4个数，根据被3除的余数，设计3个抽屉，{0}、{1}、{2}，不论第四个数被3除的余数是几，放入余数相同的抽屉，总能得出二数之差是3的倍数；
同理可得第二组6个数，能找出二数之差是5的倍数；
第三组8个数，能找出二数之差是7的倍数；
第四组12个数，能找出二数之差是11的倍数；
然后这四个差连乘起来，所得的乘积一定是3×5×7×11=1155的倍数，由此结论成立．

点评：解决此题的关键利用余数构造抽屉，进一步利用余数相同的两数之差是除数的倍数解决问题．