Question

   下图是某少年宫的平面图，共有五个大厅，相邻两厅之间都有门相通（D 与E 两厅除外），并且有一个入口和一个出口．问游人能否从入口入，一次不重复地穿过所有的门？如果可以，请指明穿行路线；如果不能，请你想一想，关闭哪扇门后就可以办到？

Answer 1

考点：一笔画定理

专题：传统应用题专题

分析：（1）首先要判断游人能否从入口入，一次不重复地穿过所有的门，可以转化为图（2）能否一笔画完的问题，因为图中有四个奇点：A、B、C、F，所以不可能一笔画出，即游人不可能一次不重复地穿过所有的门；
（2）图中有4个奇点时，只要把连接其中两个奇点的一条边去掉，就可以一笔画出，即游人可以用剩下的两个奇点分别作为起点和终点，不重复地穿过所有的门，关掉一扇门即去掉一条边，因此，我们可以去掉边AB或去掉边AC，但是游人必须从入口进入，即结点F必须作为起点，本题中有4个奇点且只能去掉一条边，因此F必须是奇点，即不能去掉与F相连的边，所以A、B之间的门或A、C之间的门关闭后，游人就可以从入口入（FC、FD或FE），一次不重复地穿过所有的门，据此解答即可．

解答： 解：（1）要使游人能否从入口入，一次不重复地穿过所有的门，可以转化为图（2）能否一笔画完的问题，
因为图中有四个奇点：A、B、C、F，
所以不可能一笔画出，
因此游人不可能一次不重复地穿过所有的门；

（2）图中有4个奇点时，只要把连接其中两个奇点的一条边去掉，就可以一笔画出，
即游人可以用剩下的两个奇点分别作为起点和终点，不重复地穿过所有的门，
因为关掉一扇门即去掉一条边，因此可以去掉边AB或去掉边AC，
但是游人必须从入口进入，即结点F必须作为起点，本题中有4个奇点且只能去掉一条边，
因此F必须是奇点，即不能去掉与F相连的边，
所以A、B之间的门或A、C之间的门关闭后，游人就可以从入口入（FC、FD或FE），一次不重复地穿过所有的门．

点评：此题主要考查了一笔画定理的应用，解答此题的关键是要明确能一笔画的图形的特征：由偶点组成的连通图，或只有两个奇点的连通图．