Question

将棋子放入方阵中，每方格内只能放一颗，且位于方格中心，如果在4×4的方阵里放入8颗棋子，就能形成3个正方形，它们有大有小，有正有斜（如图一），那么在4×4的方阵里，如果把16颗棋子全部放满的话总共能形成多少个正方形（如图二）．
在2×2的方阵中如果放入3颗棋子，不会形成任何正方形（图三），那么在3×3的方阵里（图四）至多可以放入几颗棋子而不会形成任何正方形？请在图四中画出表示棋子的点．

Answer 1

考点：图形划分

专题：压轴题,图形与位置

分析：（1）把正方形分成两大类．一类是边与格线呈水平和垂直状态的，我们姑且称为直正方形；另一类是边与格线不水平、不垂直的，称为斜正方形．先看直正方形，再按边长的长短，分为边长分别是1、2、3的三种．下面开始数数：边长为1的直正方形有9个（下图1中的蓝色正方形）；
　　边长为2的直正方形有4个（下图2中的正方形，为便于观察，使用了不同的颜色）；
　　边长为3的直正方形有1个（下图3中的红色正方形）．

再看斜正方形，这就是上面说到的图一中提示的两种．我们把这两种分别称为小斜正方形和大斜正方形．
　　小斜正方形有4个；（下图1中的正方形，为便于观察，使用了不同的颜色）；
　　大斜正方形有2个．（下图2中的正方形，为便于观察，使用了不同的颜色）．

所以16颗棋子全部放满后，所能形成的正方形的个数为：
　　9+4+1+4+2=20 个．
（2）在3×3的方阵里共可放上9颗棋子，我们首先根据所处位置给棋子分一下类：处于角上的叫“角子”，边的中间的叫“边子”，中心的一颗叫“心子”．9个格子里可以放9颗棋子：4颗角子，4颗边子，1颗心子．4颗角子构成1个大正方形，4颗边子构成1个中正方形，4 个小正方形分别是由心子和1颗角子、2颗边子构成的．要想使大正方形不能构成，最多只能放入3颗角子；要想使中正方形不能构成，最多只能放入3颗边子．或者说，必须从摆满9颗棋子的方阵中拿掉一颗角子、一颗边子．这时，有两种情况，一种是所去掉的两颗棋子相邻，一种是所去掉的两颗棋子不相邻，分别如下图（1）、（2）：

解答： 解：（1）A、先看直正方形，再按边长的长短，分为边长分别是1、2、3的三种：
边长为1的直正方形有9个；
边长为2的直正方形有4个；
边长为3的直正方形有1个；
B、看斜正方形，分别称为小斜正方形和大斜正方形：
小斜正方形有4个；
大斜正方形有2个；
所以16颗棋子全部放满后，所能形成的正方形的个数为：9+4+1+4+2=20（个）；
答：如果把16颗棋子全部放满的话总共能形成20个正方形；
（2）9个格子里可以放9颗棋子：4颗角子，4颗边子，1颗心子．4颗角子构成1个大正方形，4颗边子构成1个中正方形，4 个小正方形分别是由心子和1颗角子、2颗边子构成的．要想使大正方形不能构成，最多只能放入3颗角子；要想使中正方形不能构成，最多只能放入3颗边子．或者说，必须从摆满9颗棋子的方阵中拿掉一颗角子、一颗边子．这时，有两种情况，一种是所去掉的两颗棋子相邻，一种是所去掉的两颗棋子不相邻，分别如下图（1）、（2）：

点评：此题考查学生对图形的辨识、分类的思想以及空间想象能力．解答（1）题时读好题、审好题，分好类，一个一个地去数就行．（2）注意此题还有其它摆法．