Question

如图，长方形ABCD的长AB=14cm，宽BC=10cm，如图（1），一个半径为1cm的圆沿着长方形的四边内侧滚动一周，求圆滚过的面积；如图（2），E、F分别为AB、CD的点，且AE=

1

7

AB，FC：DF=2：5，一个半径为1cm的圆在长方形外侧连续地从E经过点B、C滚动到点F，求圆滚过的面积．（结果保留π）

Answer 1

考点：圆与组合图形

专题：竞赛专题

分析：（1）如图所示，圆滚过的面积=大长方形的面积-中间白色长方形的面积-四个直角处的面积和；四个直角处的面积和=边长为2厘米的正方形的面积-半径为1的圆的面积；据此解答即可．
（2）如图把圆滚过的面积分为7部分，3个长方形，起点、终点分别为两个半圆，两个角处分别为半径为2厘米的

1

4

圆；起点、终点加起来正好是一个半径长为1厘米圆的面积；两个角（两条红线之间）面积之和是半径为2厘米的半圆的面积；据此解答即可．

解答： 解：（1）中间空白长方形的长是14-4=10（厘米），宽是10-4=6（厘米）；
14×10-10×6-（2×2-π×1²）
=140-60-（4-π）
=80-4+π
=76+π（平方厘米）
答：圆滚过的面积是（76+π）平方厘米．
（2）AE=

1

7

AB=

1

7

×14=2（厘米），BE=14-2=12（厘米）；
FC：DF=2：5，FC=

2

2+5

CD=

2

7

×14=4（厘米）；
12×2+10×2+4×2+π×1²+

1

2

×π×2²
=24+20+8+π+2π
=52+3π（平方厘米）
答：圆滚过的面积是（52+3π）平方厘米．

点评：此题关键是作辅助线，将图形进行有效的分割，注意圆在角的顶点处的面积．