题目内容
求同时满足下列三个条件的自然数a，b：（1）a＞b； （2）
=169； （3）a+b是平方数．
| ab |
| a+b |
考点：完全平方数性质
专题：数性的判断专题
分析：先由条件（2），得：
=a+b，即ab=169a+169b，ab-169a=169b，a=
，a+b=
+b=
，再由条件（3），解决问题．
| ab |
| 169 |
| 169b |
| b-169 |
| 169b |
| b-169 |
| b2 |
| b-169 |
解答：
解：由
=169，可得：
=a+b，即ab=169a+169b，ab-169a=169b，
a=
，a+b=
+b=
，
因为a+b是平方数，所以b-169是平方数，设b-169=n2，b=n2+169；
同理可得ab-169b=169a，b=
，a+b=
+a=
，a-169是平方数，
设a-169=m2，a=m2+169；于是，a+b=m2+2×169+n2．
2×169=2×13×13，或2×169=2×1×169，或2×169=2×169×1，
因为a＞b，所以m＞n，a+b是平方数，
所以，m=169，n=1，a=m2+169=1692+169=169×170，b=n2+169=12+169=170．
| ab |
| a+b |
| ab |
| 169 |
a=
| 169b |
| b-169 |
| 169b |
| b-169 |
| b2 |
| b-169 |
因为a+b是平方数，所以b-169是平方数，设b-169=n2，b=n2+169；
同理可得ab-169b=169a，b=
| 169a |
| a-169 |
| 169a |
| a-169 |
| a2 |
| a-169 |
设a-169=m2，a=m2+169；于是，a+b=m2+2×169+n2．
2×169=2×13×13，或2×169=2×1×169，或2×169=2×169×1，
因为a＞b，所以m＞n，a+b是平方数，
所以，m=169，n=1，a=m2+169=1692+169=169×170，b=n2+169=12+169=170．
点评：在解答时，应注意三个条件之间的联系，运用设数法，巧妙解答．
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