Question

一个自然数至少有4个约数，并且该数等于其最小的4个约数的平方之和，请找出这样的自然数．

Answer 1

考点：约数个数与约数和定理

专题：整除性问题

分析：显然这个数至少有两个质因子．设所含质因子中最小两个为p，q（p＜q），（此数只含有一个质因子P的话，最小四约数为1，p，p²，p³，其平方和=此数不被p整除．矛盾） 如果p不为2则该数为奇数，约数全奇，四个奇数的平方和为偶数 不等于该数 矛盾．p=2该数为偶数，该数最小四因子为1，2，a，b时，a、b不可同时为偶或者同时为奇，否则平方和为奇数也不等于该数．
分奇偶情况讨论如下：最小四约数可能为1，2，q，2q或1，2，4，q；得出答案即可．

解答： 解：（1）最小四约数可能为1，2，q，2q令n=2kq，
此时2kq=1+4+5q²=5（q²+1）右边含质因子q 只能q=5，
代入检验有k=13，该数为130；
（2）最小四约数可能为1，2，4，q，其中q为大于4的质数，令n=4kq．
此时4kq=q²+21得到q|21，只能q=7，
代入检验k无整解．
于是符合要求的只有130．

点评：解答此题关键是找出符合条件的最小四约数，再进一步根据该数等于其最小的4个约数的平方之和探讨得出答案即可．