Question

一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=5²-3²，16就是一个“智慧数”，请问：从1开始的自然数列中，第2008个“智慧数”是多少？

Answer 1

考点：完全平方数性质

专题：竞赛专题

分析：如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞n，即智慧数=m²-n²=（m+n）（m-n），因为m，n是正整数，因而m+n和m-n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差．

解答： 解：1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=（k+1）²-k²（k=1，2，…）．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．
对于被4整除的偶数4k，有4k=（k+1）²-（k-1）²（k=2，3，…）．
即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．
对于被4除余2的数4k+2（k=0，1，2，3，…），设4k+2=x²-y²=（x+y）（x-y），其中x，y为正整数，
当x，y奇偶性相同时，（x+y）（x-y）被4整除，而4k+2不被4整除；
当x，y奇偶性相异时，（x+y）（x-y）为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．
所以不存在自然数x，y使得x²-y²=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．
因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”．
因为2008=1+3×669，4×（669+1）=2680，
所以2680是第2008个“智慧数”，即第2008个“智慧数”是2680．

点评：本题主要考查了完全平方数性质，平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．