Question

任意一些末两位数是25的数相乘，它们的乘积末两位数仍是25，我们就称25是“变不掉的两位数尾巴”．显然000是“变不掉的三位数尾巴”，请写出所有的“变不掉的三位数尾巴”．

Answer 1

考点：数字问题

专题：传统应用题专题

分析：设变不掉的三位数尾巴是（abc），x，y，m，n表示正整，得[1000x+（abc）][1000y+（abc）]=1000m+（abc），比较末三位得（abc）（abc）=（abc），或1000n+abc，解得（abc）=0，1，进一步解决问题．

解答： 解：设变不掉的三位数尾巴是（abc），依题意，得
[1000x+（abc）][1000y+（abc）]
=1000000xy+1000（x+y）（abc）+（abc）（abc）
=1000m+（abc），
比较末三位得（abc）（abc）=（abc），或1000n+abc，
解得（abc）=0，1，
或（abc）[（abc）-1]=1000n=5³×2³×n，（abc）与（abc）-1互质，
由后者得（abc）=125d，1≤d≤7，125d-1=8n，∴8|5d-1，d=5；
或（abc）=125d+1，125d+1=8n，∴8|5d+1，d=3．
答：变不掉的三位数尾巴是000，或001，或376，或625．

点评：此题属于难度较大的数字问题，设出三位数尾巴，然后推理论证．