Question

计算：
（1）0.1+0.2+0.3+0.4+…+0.9+0.1+0.11+0.12+…+0.98+0.99
（2）

1 2

1+ 1 2

+

1 3

(1+ 1 2 )×(1+ 1 3 )

+…+

1 9

(1+ 1 2 )×(1+ 1 3 )×…×(1+ 1 9 )

．

Answer 1

考点：分数的巧算,小数的巧算

专题：计算问题（巧算速算）

分析：（1）首先，算式分两部分：0.1+0.2+0.3+0.4+…+0.9和0.1+0.11+0.12+…+0.98+0.99，这两部分是两个等差数列，由此可根据高斯求和公式计算．
（2）把分母化简后，原式变为

1

3

+

1

6

+

1

10

+…+

1

45

，分母依次多3、4、5，…，通项为

2

(n+1)×(n+2)

=2×（

1

n+1

-

1

n+2

），前n项和s=1-

2

n+2

，故原式为

4

5

．

解答： 解：（1）0.1+0.2+0.3+0.4+…+0.9+0.1+0.11+0.12+…+0.98+0.99
=（0.1+0.9）×9÷2+（0.1+0.99）×90÷2
=4.5+49.05
=53.55

（2）

1 2

1+ 1 2

+

1 3

(1+ 1 2 )×(1+ 1 3 )

+…+

1 9

(1+ 1 2 )×(1+ 1 3 )×…×(1+ 1 9 )

=

1 2

3 2

+

1 3

3 2 × 4 3

+…+

1 9

3 2 × 4 3 ×…× 10 9

=

1 2

3 2

+

1 3

4 2

+

1 4

5 2

+…+

1 9

10 2

=

1

3

+

1

6

+

1

10

+…+

1

45

=1-

2

8+2

=1-

1

5

=

4

5

点评：（1）高斯求和公式：等差数列和=（首项+末项）×项数÷2．
（2）此题关键运用了通项公式

2

(n+1)×(n+2)

=2×（

1

n+1

-

1

n+2

）以及前n项和公式s=1-

2

n+2

．