Question

如图，在面积为128平方厘米的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、点C同时出发，沿对角线都以每秒l厘米的速度相向运动，在运动的过程中，过E作线段EH垂直AC交AD于H；过F作线段FG垂直AC交CD于G，连接HG、BE．
请问，动点E、F分别从A、C两点出发多少秒后，四边形EFGH的面积与△ABE的面积相等？

Answer 1

考点：组合图形的面积

专题：平面图形的认识与计算

分析：根据正方形的性质可知△AEH≌△CFG，由平行线的判定定理可知HE∥GF，即可求出结论．
根据正方形的边长可求出AC的长，过B作BO⊥AC于O，OB即为△ABE的高，设AE=x，YO用含x的关系式表示出S₁、S₂即可求出x的值．

解答： 解：根据正方形的性质可知∠HAE=∠GCF，由于A、C运动的速度相同
故AE=CF，易证△AEH≌△CFG，由平行线的判定定理可知HE∥GF
所以，以E，F，G，H为顶点的四边形是矩形
因为正方形边长为8

2

所以AC=16
因为AE=x，过B作BO⊥AC于O，则BO=8
所以S₂=4x
因为HE=x，EF=16-2x
所以S₁=x（16-2x）
当S₁=S₂时，x（16-2x）=4x
解得x₁=0（舍去），x₂=6
所以当x=6时，S₁=S₂
答：E、F两点从A、C两点出发6秒后，四边形EFGH的面积与△ABE的面积相等．

点评：本题综合考查了正方形的性质及二次函数图象上点的特征，把求面积的最值转化为求二次函数的最值问题，锻炼了同学们对所学知识的综合运用能力．