Question

仔细观察下面的式子，并填空．

1

1×2

=1-

1

2

                    

1

2×3

=

1

2

-

1

3

1

3×4

=

 

-

 

       

1

4×5

=

 

-

 

…
根据以上规律，计算下面的算式．

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

99×100

．

Answer 1

考点：分数的巧算

专题：计算问题（巧算速算）

分析：观察

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，可以发现规律：两个相邻自然数（0除外）的积的倒数等于较小的自然数的倒数与较大的自然数的倒数的差，即

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此可知，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；

1

4×5

=

1

4

-

1

5

；据此规律，算式中的每个加数都可以拆分成两个分数的差，然后进行计算即可．

解答： 解：

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

4×5

=

1

4

-

1

5

；

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

99×100

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+（

1

4

-

1

5

）+…+（

1

99

-

1

100

）
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

99

-

1

100

=1-

1

100

=

99

100

．
故答案为：

1

3

；

1

4

；

1

4

；

1

5

．

点评：本题考查了分数的巧算，关键是能从特殊情况发现一般规律

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（n为不等于0的自然数），并应用规律解决问题．