Question

如图，甲、乙两只蚂蚁在下列圆周上运动．AC为大圆的直径，点B在AC上，AB、BC分别为两个小圆的直径．甲蚂蚁在大圆上顺时针爬行，乙蚂蚁在两个小圆上沿着箭头所指方向绕“8”字爬行（A→B→C→B→A）．甲蚂蚁与乙蚂蚁在某一时刻同时从A点出发，然后不断爬行，速度为V甲：V乙=3：2．经过T1分钟，两只蚂蚁相遇．接下来，甲蚂蚁将自己的速度提高了

1

3

，乙蚂蚁的速度不变，继续在原来的轨道上爬行．经过T2分钟，两只蚂蚁再一次相遇．已知T1+T2=1003-993+983-983+…+23-13，则甲蚂蚁按原来的速度绕大圈爬行一周需要

 

分钟（本题答案写为假分数）．

Answer 1

考点：相遇问题,有关圆的应用题

专题：行程问题

分析：由题意可知，乙爬行一个8字路程为πAB+πBC=πAC，甲爬得一圈的路程是πAC，所以甲乙所行路程相等，则甲从A到C的路程与乙从A到C的路程相等．
由于一开始V_甲：V_乙=3：2，所以第一次相遇时，甲爬了3圈，乙爬了2个8字．在A点相遇．
甲将速度提高了

1

3

后，V_甲：V_乙=3×（1+

1

3

）：2=4：2，所以第二次遇时，甲爬了2圈，乙爬了1个8字．
然后据此根据T1+T2=1003-993+983-983+…+23-13解答即可．

解答： 解：由于乙爬行一个8字路程为πAB+πBC=πAC，甲爬得一圈的路程是πAC，所以甲乙所行路程相等，则甲从A到C的路程与乙从A到C的路程相等．
则原来V_甲：V_乙=3：2，所以第一次相遇时，甲爬了3圈，乙爬了2个8字．在A点相遇．
甲将速度提高了

1

3

后，V_甲：V_乙=3×（1+

1

3

）：2=4：2，所以第二次遇时，甲爬了2圈，乙爬了1个8字．
T1+T2=1003-993+983-983+…+23-13
=（100-99）(1002+100×99+99)2+（2-1）(22+22×1+1）
=100₂+99₂+…+2₂+1₂+100×99+…+2×1
=

100×101×201

6

+100₂-100+98₂-98+…+2₂-2
=338350+2₂×(502+492+…+1)2-（100+98+96+…+2）
=338350+171700+2550
=507500．
所以在507500分钟中，乙爬了3个8字，用时

207500

3

分．
由于一开始来V_甲：V_乙=3：2，
则甲以初始速度爬行一周需要

207500

3

×

2

3

=

1015000

9

分钟．
故答案为：

1015000

9

．

点评：本题为复杂的行程问题，完成时要细心分析所给条件，首先求出前后两人的速度比是完成本题的关键．