Question

求满足下列条件的所有自然数：
（1）它是四位数．
（2）被22除余数为5．
（3）它是完全平方数．

Answer 1

考点：完全平方数性质

专题：传统应用题专题

分析：设22n+5=N²，其中n，N为自然数，可知N为奇数．则有N²-16=11（2n-1），（N+4）（N-4）=11（2n-1），11|N-4或11|N+4，N=（2k-1）×11+4，N=22k-5 或 N=22k-15 （k=1，2，…），然后通过试数，即可找到满足上述条件的所有自然数．

解答： 解：设22n+5=N²，其中n，N为自然数，可知N为奇数．
N²-16=11（2n-1），（N+4）（N-4）=11（2n-1）
11|N-4或11|N+4
N=（2k-1）×11+4，N=22k-5或N=22k-15 （k=1，2，…）
经试数可知，只有37×37，51×51，59×59，73×73，81×81，95×95符合题意，
此自然数为1369，2601，3481，5329，6561，9025．

点评：解答此类问题，一般采取用字母代替数字的方法，列出关系式，通过讨论，解决问题．